Калькулятор U-критерия Манна — Уитни
Выборка 1
Выборка 2
Результаты расчёта
U-критерий Манна — Уитни: непараметрический тест для двух независимых выборок
U-критерий Манна — Уитни (ещё его называют критерий Вилкоксона — Манна — Уитни) — это непараметрический статистический тест. Он оценивает различия между двумя независимыми выборками по уровню количественного или порядкового признака. В отличие от t-критерия Стьюдента, он не требует нормального распределения данных. И, в общем, устойчив к выбросам. Критерий отвечает на вопрос: «Верно ли, что значения из одной группы в целом выше (или ниже) значений из другой группы?».
Калькулятор автоматически вычисляет эмпирическое значение U, суммы рангов. А для выборок объёмом более 20 элементов — также Z-статистику и размер эффекта r (рангово-бисериальную корреляцию). Результаты можно скопировать одним нажатием. Удобно, правда?
Как пользоваться калькулятором
- Введите значения первой выборки в колонку «Выборка 1», второй — в «Выборка 2». По умолчанию в каждой колонке три поля. Для добавления новой строки нажмите кнопку «+».
- Если необходимо удалить строку, нажмите кнопку «×» справа от поля. Минимальное количество строк в каждой выборке — 2 или 3 (см. ограничения ниже).
- Вводите только числа (целые или десятичные, разделитель — точка). Пустые поля или нечисловые символы вызовут сообщение об ошибке.
- Нажмите «Рассчитать». Результаты отобразятся в блоке справа. Для копирования данных используйте кнопку «Копировать».
- Кнопка «Очистить» сбрасывает все поля и результаты.
Ограничения по объёму выборок:
- В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений. Допускается 2 наблюдения в одной выборке, если в другой не менее 5.
- Максимальное количество наблюдений в каждой выборке — 60.
- Если объём хотя бы одной выборки превышает 20, дополнительно рассчитывается Z-статистика (асимптотическая аппроксимация к нормальному распределению).
Содержание
- Математическая основа расчёта
- Примеры расчёта
- Таблица критических значений U
- Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Математическая основа расчёта
Алгоритм включает следующие шаги:
- Объединение и ранжирование. Все значения из обеих выборок сортируются по возрастанию. Каждому значению присваивается ранг — порядковый номер в общем ряду. При совпадении значений (связках) каждому присваивается средний арифметический ранг.
- Суммы рангов. Вычисляются суммы рангов для первой (R₁) и второй (R₂) выборок.
- Расчёт U-статистик.
U₁ = n₁ n₂ + n₁ (n₁+1)/2 – R₁
U₂ = n₂ n₁ + n₂ (n₂+1)/2 – R₂
где n₁ и n₂ — объёмы выборок.- Эмпирическое значение U. Берётся минимальное из двух: Uэмп = min(U₁, U₂)
- Z-статистика (при n₁ > 20 или n₂ > 20).
μ_U = n₁ n₂ / 2, σ_U = sqrt( n₁ n₂ (N+1) / 12 ), N = n₁ + n₂
Z = (Uэмп – μ_U) / σ_U- Размер эффекта r.
r = 1 – 2 Uэмп / (n₁ n₂)
Ну, или просто сказать: если r около 0,1 — эффект малый, 0,3 — средний, 0,5 — большой. В общем, по Коэну так принято. На практике мы однажды видели, как в A/B-тестировании даже при p<0,05 эффект оказался настолько маленьким, что смысла в нём не было. Поэтому смотрите не только на значимость.
Примеры расчёта
Пример 1. Сравнение времени реакции (малые выборки)
Группа A (n₁ = 4): 25, 40, 42, 45 с
Группа B (n₂ = 5): 35, 48, 50, 55, 60 с
Ранжирование:
| Значение | Группа | Ранг |
|---|---|---|
| 25 | A | 1 |
| 35 | B | 2 |
| 40 | A | 3 |
| 42 | A | 4 |
| 45 | A | 5 |
| 48 | B | 6 |
| 50 | B | 7 |
| 55 | B | 8 |
| 60 | B | 9 |
Суммы рангов: R_A = 1+3+4+5 = 13, R_B = 2+6+7+8+9 = 32.
U_A = 4·5 + 4·5/2 – 13 = 20 + 10 – 13 = 17
U_B = 5·4 + 5·6/2 – 32 = 20 + 15 – 32 = 3
Uэмп = min(17, 3) = 3
Для n₁=4, n₂=5 и α = 0,05 критическое значение Uкрит = 2. Так как 3 > 2, нулевая гипотеза не отвергается: статистически значимых различий во времени реакции между группами не обнаружено.
Пример 2. Оценка качества продукции (выборки с повторениями)
Группа 1 (n₁ = 6): 8, 9, 9, 10, 12, 15
Группа 2 (n₂ = 7): 5, 6, 7, 7, 8, 8, 11
Ранжирование с учётом связок:
| Значение | Группа | Ранг |
|---|---|---|
| 5 | 2 | 1 |
| 6 | 2 | 2 |
| 7 | 2 | 3,5 |
| 7 | 2 | 3,5 |
| 8 | 1 | 5,5 |
| 8 | 2 | 5,5 |
| 8 | 2 | 5,5 |
| 9 | 1 | 8,5 |
| 9 | 1 | 8,5 |
| 10 | 1 | 10 |
| 11 | 2 | 11 |
| 12 | 1 | 12 |
| 15 | 1 | 13 |
Суммы рангов: R₁ = 5,5 + 8,5 + 8,5 + 10 + 12 + 13 = 57,5
R₂ = 1 + 2 + 3,5 + 3,5 + 5,5 + 5,5 + 11 = 32
U₁ = 6·7 + 6·7/2 – 57,5 = 42 + 21 – 57,5 = 5,5
U₂ = 7·6 + 7·8/2 – 32 = 42 + 28 – 32 = 38
Uэмп = 5,5
Для n₁=6, n₂=7 и α = 0,05 Uкрит = 8. Поскольку 5,5 < 8, нулевая гипотеза отвергается: качество продукции в группе 1 статистически значимо выше, чем в группе 2.
Таблица критических значений U (фрагмент, α = 0,05)
| n₁ \ n₂ | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| 4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 5 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 |
| 6 | 1 | 3 | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 | 14 |
| 7 | 2 | 4 | 6 | 8 | 11 | 13 | 15 | 17 |
Если Uэмп ≤ Uкрит, различия признаются статистически значимыми на уровне α. В практике, честно говоря, мы редко используем таблицы — калькулятор всё сам считает. Но для понимания полезно.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1. В каких случаях применяется U-критерий Манна — Уитни вместо t-критерия?
Критерий используют, когда данные не подчиняются нормальному распределению (например, при малых выборках, наличии выбросов или порядковых шкалах). Он менее чувствителен к нарушению допущений, чем параметрические тесты. Один клиент однажды спросил: «А если у меня всего 6 человек в каждой группе?» — вот тут как раз U-критерий выручает.
2. Как интерпретировать нулевую гипотезу?
H₀: распределения двух выборок не различаются (значения из одной группы не имеют тенденции быть больше или меньше значений из другой). H₁: распределения различаются. Если Uэмп ≤ Uкрит, H₀ отвергается.
3. Что делать, если объём одной из выборок превышает 60?
Калькулятор не принимает более 60 значений в каждой выборке. Для больших объёмов рекомендуется использовать Z-аппроксимацию или перейти к другим непараметрическим методам (например, H-критерий Крускала — Уоллиса для нескольких групп или бутстреп). В общем, не всё потеряно.
4. Что означает размер эффекта r?
r — это показатель «величины» различий, независимый от объёма выборки. Значения 0,1, 0,3, 0,5 соответствуют малому, среднему и большому эффекту по Коэну. Даже при p < 0,05 малый r может указывать на практическую незначимость. На практике, мы видели результаты, где p=0,001, а r=0,02 — эффект есть, но толку? Разбирайтесь.
5. Учитывает ли калькулятор поправку на связи (одинаковые значения)?
Да, при наличии совпадающих значений в объединённом ряду расчёт рангов выполняется с использованием среднего арифметического ранга. Однако Z-статистика вычисляется без поправки на связи — для точной поправки (например, для коррекции на связанные ранги) требуется использование специализированного ПО. Но для большинства задач подходит.
U-критерий Манна — Уитни — надёжный инструмент для сравнения двух независимых групп при нарушении условий нормальности. Он широко применяется в психологии, медицине, маркетинге, A/B-тестировании и инженерном анализе. Представленный калькулятор позволяет быстро получить не только базовое значение U, но и дополнительные метрики (Z, r). Используйте его в сочетании с визуализацией данных — ящичные диаграммы, гистограммы — для повышения достоверности выводов.